已知抛物线C：x2=ay（a＞0），斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于A，B两点，且抛物线上一点M(22，m)(m＞1)到点F的距离是3．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若k＞0，且AF=3FB，求k的值．（Ⅲ-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C：x2=ay（a＞0），斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，交抛..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知抛物线C：x²=ay（a＞0），斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于A，B两点，且抛物线上一点M(2

2

， m) (m＞1)到点F的距离是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且

AF

=3

FB

，求k的值．
（Ⅲ）过A，B两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q，求证：

AB

?

FQ

=0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为点M(2

2

，m)在抛物线C：x²=ay（a＞0）上，所以am=8．
因为点M( 2

2

，m)到抛物线的焦点F的距离是3，所以点M( 2

2

，m)到抛物线的准线y=-

a

4

的距离是3，
所以m+

a

4

=3．
所以

8

a

+

a

4

=3．
所以a=4，或a=8．…..（3分）
因为m＞1，所以a=4…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x²=4y．
因为直线l经过点T（0，1），

AF

=3

FB

，所以直线l的斜率一定存在，
设直线l的斜率是k，所以直线l的方程是y=kx+1，即kx-y+1=0．
联立方程组

kx-y+1=0

x2=4y

消去y，得x²-4kx-4=0．…..（5分）
所以x1，2=

4k±

16k2+16

2

=2k±2

k2+1

．
因为

AF

=3

FB

，且k＞0，所以2k+2

k2+1

=3?(2

k2+1

-2k)．…..（7分）
所以

k2+1

=2k，所以k2=

1

3

．
因为k＞0，所以k=

3

所以k的值是

3

．…..（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，方程组

kx-y+1=0

x2=4y

得x²-4kx-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4

AB

=(x2-x1，y2-y1)=(x2-x1，k(x2-x1))．…..（9分）
由x²=4y，所以y=

1

4

x2，所以y′=

1

2

x．
所以切线QA的方程是y-y1=

1

2

x1(x-x1)，切线QB的方程是y-y2=

1

2

x2(x-x2)．…..（11分）
所以点Q的坐标是（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），即（2k，-1），所以

FQ

=(2k，-2)．
因为

AB

=(x2-x1，k(x2-x1))
所以

AB

?

FQ

=0．…..（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C：x2=ay（a＞0），斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，交抛..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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