在平面直角坐标系中，已知抛物线y2=2px（p＞0），过定点A（p，0）作直线交该抛物线于M、N两点．（I）求弦长|MN|的最小值；（II）是否存在平行于y轴的直线l，使得l被以AM为直径的圆所截-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系中，已知抛物线y2=2px（p＞0），过定点A（p，0）作直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系中，已知抛物线y²=2px（p＞0），过定点A（p，0）作直线交该抛物线于M、N两点．
（I）求弦长|MN|的最小值；
（II）是否存在平行于y轴的直线l，使得l被以AM为直径的圆所截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线MN：x=my+p
①当m=0时，|MN|=2

2

p
②当m≠0时，联立y²=2px与x=my+p
得y²-2mpy-2p²=0?

y1+y2=2mp

y1y2=-2p2

?|MN|=2p

(m2+1)(m2+2)

＞2

2

p
比较①②知|MN|min=2

2

p（6分）
（II）设存在平行于y轴的直线l，方程为x=t，M（x₁，y₁），圆心为C（x₀，y₀）
l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得：
q=2

(

|MA|

2

)2-(x0-t)2

=2

(x1-p)2+

y

21

4

-(

x1+p

2

-t)2

=2

(t-

p

2

)x1+pt-t2

当t=

p

2

时，q=p为定值
故存在这样的直线l，其方程为x=

p

2

（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系中，已知抛物线y2=2px（p＞0），过定点A（p，0）作直..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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