已知动点P（p，-1），Q（p，1+p22），过Q作斜率为p2的直线l，PQ中点M的轨迹为曲线C．（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；（2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：A-数学试题及答案

1、试题题目：已知动点P（p，-1），Q（p，1+p22），过Q作斜率为p2的直线l，PQ中点M..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知动点P（p，-1），Q（p，1+

p2

2

），过Q作斜率为

p

2

的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C．
（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；
（2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）直线l的方程是：y-1-

p2

2

=

p

2

(x-p)，即y=

p

2

x+1，经过定点（0，1）；
又M（p，

p2

4

），设x=p，y=

p2

4

，消去p，得到的轨迹方程为：y=

x2

4

．
由

y=

x2

4

y=

p

2

x+1

有x²-2px-4=0，其中△=4p²+16，所以l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点
（2）由x²-2px-4=0，设A（p+

p2+4

，

(p+

p2+4

)2

4

），
则kAP=

(p+

p2+4

)2

4

+1

p2+4

=

p+

p2+4

2

，
又函数y=

x2

4

的导函数为y=

x

2

，故A处的切线的斜率也是

p+

p2+4

2

，从而AP是曲线C的切线．对于另一个解同样可证．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知动点P（p，-1），Q（p，1+p22），过Q作斜率为p2的直线l，PQ中点M..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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