已知椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线为l1和l2，过椭圆E的右焦点F作直线l，使得l⊥l2于点C，又l与l1交于点P，l与椭圆E的两个交点从上到下依次为-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）双曲线x2a2-y2b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线为l₁和l₂，过椭圆E的右焦点F作直线l，使得l⊥l₂于点C，又l与l₁交于点P，l与椭圆E的两个交点从上到下依次为A，B（如图）．
（1）当直线l₁的倾斜角为30°，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；
（2）设

PA

=λ1

AF

，

PB

=λ2

BF

，证明：λ₁+λ₂为常数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知，

b

a

=

3

，a²+b²=16．
解得：a²=12，b²=4
所以椭圆E的方程是

x2

12

+

y2

4

=1
（2）解法1：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由题意得：直线l₁的方程为：y=

b

a

x，直线l₂的方程为：y=-

b

a

x
则直线l的方程为：y=

a

b

（x-c），其中点F的坐标为（c，0）；

由

y=

b

a

x

y=

a

b

(x-c)

得：

x=

a2

c

y=

ab

c

，则点P(

a2

c

，

ab

c

)

由

x2

a2

+

y2

b2

=1

y=

a

b

(x-c)

消y得：2x²-2cx+（c²-a²）=0，则x₁+x₂=c x₁x₂=

c2-a2

2

；
由

PA

= λ1

AF

得：x1-

a2

c

=λ1(c-x2)，则：λ1=

cx1-a2

c(c-x1))

，
同理由

PA

=λ2

BF

得：λ2=

cx1-a2

c(c-x2)

．
λ₁+λ₂=

cx1-a2

c(c-x1))

+

cx2-a2

c(c-x2))

=

(cx1-a2)(c-x2)+(cx2-a2)(c-x1)

c(c-x1))(c-x2))

=

(c2+a2 )c-c(c2-a2)-2ca2

c(c-x1))(c-x2)

=0
故λ₁+λ₂=0为常数．
解法2：过p作X轴的垂线M，过A，B分别作m的垂线，垂足分别为A₁，B₁
由题意得：直线l₁的方程为：y=

b

a

x，直线l₂的方程为：y=-

b

a

x
则直线l的方程为：y=

a

b

(x-c)，其中点F的坐标为（c，0）
由

y=

b

a

x

y=

a

b

(x-c)

得：

x=

a2

c

y=

ab

c

，则直线m为椭圆E的右准线
则：

PA

AF

=

|

PA

|

e|

AF

|

，

PB

BF

=

|

PB

|

e|

BF

|

，其中e的离心率
λ₁=

|

PA

|

AF

|

，λ₂=-

|

PB

|

BF

|

，

|

PA

|

AF

|

=

|

PB

|

BF

|

，故λ₁+λ₂=0
∴λ₁+λ₂为常数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）双曲线x2a2-y2b..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：