已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）为Γ的三个顶点．（1）若点M满足AM=12(AQ+AB)，求点M的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆Γ的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）为Γ的三个顶点．
（1）若点M满足

AM

=

1

2

(

AQ

+

AB

)，求点M的坐标；
（2）设直线l₁：y=k₁x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于点E．若k1?k2=-

b2

a2

，证明：E为CD的中点；
（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P₁、P₂满足

PP1

+

PP2

=

PQ

PP1

+

PP2

=

PQ

？令a=10，b=5，点P的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点P₁、P₂满足

PP1

+

PP2

=

PQ

，求点P₁、P₂的坐标．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

AM

=

1

2

(

AQ

+

AB

)，
∴M是B（0，-b）和Q（a，0）的中点，
∴M(

a

2

，-

b

2

)．
（2）由方程组

y=k1 x+p

x2

a2

+

y2

b2

=1

，
消y得方程（a²k₁²+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，
因为直线l₁：y=k₁x+p交椭圆Γ于C、D两点，
所以△＞0，即a²k₁²+b²-p²＞0，
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中点坐标为（x₀，y₀），设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中点坐标为（x₀，y₀），
则

x0 =

x1 +x2

2

=-

a2k1 p

a2

k

12

+b2

y0 =k1x0 +p=

b2 p

a2

k

12

+b2

，
由方程组

y=k1 x+p

y=k2 x

，消y得方程（k₂-k₁）x=p，
又因为k2=-

b2

a2k1

，
所以

x=

p

k2 -k1

=-

a2k1 p

a2

k

12

+b2

=x0

y=k2 x=

b2 p

a2

k

12

+b2

=y0

，
故E为CD的中点；
（3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，
所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k₂，
由

PP1

+

PP2

=

PQ

知F为P₁P₂的中点，
根据（2）可得直线l的斜率k1=-

b2

a2k2

，
从而得直线l的方程．F(1，-

1

2

)，
直线OF的斜率k2=-

1

2

，
直线l的斜率k1=-

b2

a2k2

=

1

2

，
解方程组

y=

1

2

x-1

x2

100

+

y2

25

=1

，消y：x²-2x-48=0，
解得P₁（-6，-4）、P₂（8，3），或P₁（8，3）、P₂（-6，-4），．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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