已知以点C（t，2t）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程-数学试题及答案

1、试题题目：已知以点C（t，2t）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-03 07:30:00

试题原文

已知以点C（t，

2

t

）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆的标准方程与一般方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵圆C过原点O，
∴OC²=t²+

4

t2

，
则圆C的方程是（x-t）²+（y-

2

t

）²=t²+

4

t2

，
令x=0，得y₁=0，y₂=

4

t

，
令y=0，得x₁=0，x₂=2t
∴S_△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

×|

4

t

|×|2t|=4，
即：△OAB的面积为定值；
（2）∵OM=ON，CM=CN，
∴OC垂直平分线段MN，
∵k_MN=-2，∴k_oc=

1

2

，
∴直线OC的方程是y=

1

2

x，
∴

2

t

=

1

2

t，解得：t=2或t=-2，
当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），OC=

5

，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=

1

5

＜

5

，
圆C与直线y=-2x+4相交于两点，
当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1），OC=

5

，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=

9

5

＞

5

，
圆C与直线y=-2x+4不相交，
∴t=-2不符合题意舍去，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知以点C（t，2t）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆的标准方程与一般方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆的标准方程与一般方程”。

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