设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：x∈R都有f（x）+f（﹣x）=0，且x=1时，f（x）取极小值．（1）f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：x∈R都有f（x）+f（﹣x）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：

x∈R都有f（x）+f（﹣x）=0，且x=1时，f（x）取极小值

．
（1）f（x）的解析式；
（2）当x∈[﹣1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：
（3）设F（x）=|xf（x）|，证明：

时，

．

试题来源：广西自治区月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）因为，

x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，
所以：b=d=0，
由：f'（1）=0，得3a+c=0，
由：

，得

解之得：

，c=﹣1
从而，函数解析式为：

（2）由于，f'（x）=x²﹣1，
设：任意两数x₁，x₂∈[﹣1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，
则这两点的切线的斜率分别是：k₁=f'（x₁）=x₁²﹣1，k₂=f'（x₂）=x₂²﹣1
又因为：﹣1≤x₁≤1，﹣1≤x₂≤1，
所以，k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0知：k₁k₂≠﹣1 故，
当x∈[﹣1，1] 是函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直
（3）当：

时，x²∈（0，3）且3﹣x²＞0此时F（x）=|xf（x）|=

=

当且仅当：x²=3﹣x²，即

，取等号，故；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：x∈R都有f（x）+f（﹣x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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