已知函数f（x）=x3+ax2-2ax-3a，（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线x+6y=0垂直，求a的值．（Ⅱ）证明：对于?a∈R都?x∈[-1，4]，使得f（x）≤f′（x）成立．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2-2ax-3a，（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²-2ax-3a，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线x+6y=0垂直，求a的值．
（Ⅱ）证明：对于?a∈R都?x∈[-1，4]，使得f（x）≤f′（x）成立．

试题来源：台州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax-2a，直线x+6y=0的斜率为-

1

6

，由题意得f′（2）=12+2a=6，
所以a=-3…（4分）
（Ⅱ）证明：令g（x）=f（x）-f′（x），g（x）=x³+（a-3）x²-4ax-a，
由g′（x）=0得：x₁=2，x2=-

2a

3

…（7分）
（1）当a≤-3时，x₂≥x₁，在（-∞，2]上g′（x）≥0，即g（x）在（-∞，2]上单调递增，此时g（x）_min≤g（-1）=4a-4≤-16．
∴a≤-3…（10分）
（2）当a＞-3时，x₁＞x₂，在(-∞，-

2a

3

]上g′（x）≥0，在(-

2a

3

，2)上g′（x）＜0，在[2，+∞）上g′（x）≥0，即g（x）在(-∞，-

2a

3

]上单调递增，在(-

2a

3

，2)上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，g（x）_min≤g（2）或者g（x）_min≤g（-1），此时只要g（-1）=4a-4≤0或者g（2）=-5a-4≤0即可，得a≤1或a≥-

4

5

，
∴a＞-3．…（14分）
由（1）、（2）得 a∈R．
∴综上所述，对于?a∈R都?x∈[-1，4]，使得f（x）≤f′（x）成立．…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2-2ax-3a，（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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