已知定义在（0，+∞）上的两个函数f(x)=x2-alnx，g(x)=x-ax，且f(x)在x=1处取得极值．（1）求a的值及函数g（x）的单调区间；（2）求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜2+lnx2-lnx成立．（3）把g（x）对应-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在（0，+∞）上的两个函数f(x)=x2-alnx，g(x)=x-ax，且f(x)..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知定义在（0，+∞）上的两个函数f(x)=x2-alnx，g(x)=x-a

x

，且f(x)在x=1处取得极值．
（1）求a的值及函数g（x）的单调区间；
（2）求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜

2+lnx

2-lnx

成立．
（3）把g（x）对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C₁，求C₁与f（x）对应曲线C₂的交点个数，并说明理由．

试题来源：宜宾一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′（x）=2x-

a

x

，∴f'（1）=2-a=0，∴a=2．…（2分）
∴g(x)=x-2

x

．由g′(x)=1-

1

x

＞0，得x＞1；
由g′(x)=1-

1

x

＜0，得0＜x＜1．
∴g（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）．…（4分）
（2）∵1＜x＜e²，
∴0＜lnx＜2，
∴2-lnx＞0．
欲证x＜

2+lnx

2-lnx

，只需证明2x-xlnx＜2+lnx，
即只需证lnx＞

2(x-1)

x+1

．
记F(x)=lnx-

2(x-1)

x+1

，
则F′(x)=

(x-1)2

x(x+1)2

．
当x＞1时，F'（x）＞0，
∴F（x）在（1，+∞）上是增函数．
∴F（x）＞F（1）=0，
∴F（x）＞0，即lnx-

2(x-1)

x+1

＞0．
∴lnx＞

2(x-1)

x+1

．故结论成立． …（8分）
（3）由题意知C1：h(x)=x-2

x

+6．
问题转化为G(x)=x2-2lnx-(x-2

x

+6)=0在（0，+∞）上解的个数．…（10分）
G′(x)=2x-2

1

x

-1+

1

x

=

2x2-2-x+

x

=

(

x

-1)(2x

x

+2x+

x

+2)

x

．
由G'（x）＞0，得x＞1；由G'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴G（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减．
又G（1）=-4＜0，所以G(x)=x2-2lnx-(x-2

x

+6)=0
在（0，+∞）上有2个解．
即C₁与f（x）对应曲线C₂的交点个数是2．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在（0，+∞）上的两个函数f(x)=x2-alnx，g(x)=x-ax，且f(x)..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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