已知函数f（x）=ax3-cx，x∈[-1，1]．（I）若a=4，c=3，求证：对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1；（II）若对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，求证：|a|≤4．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3-cx，x∈[-1，1]．（I）若a=4，c=3，求证：对任意x∈[..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³-cx，x∈[-1，1]．
（I）若a=4，c=3，求证：对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1；
（II）若对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，求证：|a|≤4．

试题来源：东城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（I）由a=4，c=3，得f（x）=4x3-3x，
于是f′（x）=12x²-3，
令f′（x）=0，可得x=±

1

2

，
∴当-1＜x＜-

1

2

或

1

2

＜x＜1，时f′（x）＞0，
当-

1

2

＜x＜

1

2

时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的增区间为（-1，-

1

2

），（

1

2

，1），减区间（-

1

2

，

1

2

），
又f（-1）=-1，f（-

1

2

）=1，f（1）=1，f（

1

2

）=-1，
故对任意x∈[-1，1]，恒有-1≤f（x）≤1，
即对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1．（7分）
（II）证明：由f（x）=ax³-cx可得，
f（1）=a-c，f（

1

2

）=

a

8

-

c

2

，
因此f（1）-2f（

1

2

）=

3a

4

，
由|

3a

4

|=|f（1）-2f（

1

2

）|≤|f（1）|+2|f（

1

2

）|
又对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，
∴|

3a

4

|≤3，可得|a|≤4．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3-cx，x∈[-1，1]．（I）若a=4，c=3，求证：对任意x∈[..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：