已知f（x）=ax-1nx，x∈（0，e]，g（x）=1nxx，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+12；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ax-1nx，x∈（0，e]，g（x）=1nxx，其中e是自然常数，a∈R．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ax-1nx，x∈（0，e]，g（x）=

1nx

x

，其中e是自然常数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+

1

2

；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

试题来源：甘肃三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）=x-lnx，f′（x）=

x-1

x

…（1分）
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增 …（3分）
∴f（x）的极小值为f（1）=1 …（4分）
（Ⅱ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，
∴f（x）＞0，f（x）_min=1…（5分）
令h（x）=g（x））+

1

2

=

lnx

x

+

1

2

，h′(x)=

1-lnx

x2

，…（6分）
当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增 …（7分）
∴h（x）_max=h（e）=

1

e

+

1

2

＜

1

2

+

1

2

=1=|f（x）|_min …（9分）
∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+

1

2

；…（10分）
（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=

ax-1

x

①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=

4

e

（舍去），所以，此时f（x）无最小值．…（12分）
②当0＜

1

a

＜e时，f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，e]上单调递增，f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=3，∴a=e²，满足条件．…（14分）
③当

1

a

≥e时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=

4

e

（舍去），
所以，此时f（x）无最小值．…（15分）
综上，存在实数a=e²，使f（x）的最小值是3．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ax-1nx，x∈（0，e]，g（x）=1nxx，其中e是自然常数，a∈R．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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