已知函数f(x)=2a+1a-1a2x，常数a＞0．（1）设m?n＞0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；（2）设0＜m＜n且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2a+1a-1a2x，常数a＞0．（1）设m?n＞0，证明..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

2 a+1

a

-

1

a2x

，常数a＞0．
（1）设m?n＞0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）设0＜m＜n且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）任取x₁，x₂∈[m，n]，且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

1

a2

?

x1-x2

x1x2

，
因为x₁＜x₂，x₁，x₂∈[m，n]，所以x₁x₂＞0，即f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在[m，n]上单调递增．
（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]?f（m）=m，f（n）=n，
即m，n是方程

2a+1

a

-

1

a2x

=x的两个不等的正根?a²x²-（2a²+a）x+1=0有两个不等的正根．
所以△=（2a²+a）²-4a²＞0，

2a2+a

4a2

＞0?a＞

1

2

．
∴n-m=

1

a

4 a2+4 a-3

=

-3 (

1

a

-

2

3

)2+

16

3

， a∈(

1

2

， +∞ )，
∴a=

3

2

时，n-m取最大值

4

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2a+1a-1a2x，常数a＞0．（1）设m?n＞0，证明..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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