设函数f（x）=px-qx-2lnx，且f（e）=pe-qe-2，（其中e=2.1828…是自然对数的底数）．（1）求p与q的关系；（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（3）设g(x)=2ex，若在[1，e-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=px-qx-2lnx，且f（e）=pe-qe-2，（其中e=2.1828…是自然..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=px-

q

x

-2lnx，且f（e）=pe-

q

e

-2，（其中e=2.1828…是自然对数的底数）．
（1）求p与q的关系；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（3）设g(x)=

2e

x

，若在[1，e]上存在实数x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

试题来源：中山市模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（e）=pe-

q

e

-2，
∴（p-q）e=

q-p

e

，∴p-q=0，
∴p=q；
（2）f′（x）=p+

p

x2

-

2

x

≥0，或f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
?p≥

2

x

?

x2

x2+1

=

2x

x2+1

=

2

x+

1

x

或p≤

2

x+

1

x

?p≥1或p≤0；
（3）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是减函数
∴x=e时，g（x）_min=2；
x=1时，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]
①p≤0时，由（2）知f（x）在[1，e]递减?f_max（x）=f（1）=0＜2，不合题意
②0＜p＜1时，由x∈[1，e]?x-

1

x

∈[0，e-

1

e

]
∴f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx＜x-

1

x

-2lnx＜e-

1

e

-2lne=e-

1

e

-2＜2，不合题意
③p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，故只需f（x）_max＞g（x）_min=2，
x∈[1，e]而f(x)max=f(e)=p(e-

1

e

)-2lne，g(x)min=2
由

p(e-

1

e

)-2lne＞2

p≥1

，解得p＞

4e

e2-1

，故p的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=px-qx-2lnx，且f（e）=pe-qe-2，（其中e=2.1828…是自然..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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