设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若函数g（x）=exf（x）在[0，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若函数g（x）=e^xf（x）在[0，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围．

试题来源：怀柔区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，
所以a=1．经检验，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
即a=1．（6分）
（Ⅱ）由题设，g′（x）=e^x（ax³-3x²+3ax²-6x），又e^x＞0，
所以，?x∈（0，2]，ax³-3x²+3ax²-6x≤0，
这等价于，不等式a≤

3x2+6x

x3+3x2

=

3x+6

x2+3x

对x∈（0，2]恒成立．
令h(x)=

3x+6

x2+3x

（x∈（0，2]），
则h′(x)=-

3(x2+4x+6)

(x2+3x)2

=-

3[(x+2)2+2]

(x2+3x)2

＜0，
所以h（x）在区间（0，2]上是减函数，
所以h（x）的最小值为h(2)=

6

5

．
所以a≤

6

5

．即实数a的取值范围为(-∞，

6

5

]．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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