已知f（x）=loga1-x1+x，（a＞0且a≠1）．（1）若m，n∈（-1，1），求证f（m）+f（n）=f（m+n1+mn）；（2）判断f（x）在其定义域上的奇偶性，并予以证明；（3）确定f（x）在（0，1）上的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=loga1-x1+x，（a＞0且a≠1）．（1）若m，n∈（-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知f（x）=log_a

1-x

1+x

，（a＞0且a≠1）．
（1）若m，n∈（-1，1），求证f（m）+f（n）=f（

m+n

1+mn

）；
（2）判断f（x）在其定义域上的奇偶性，并予以证明；
（3）确定f（x）在（0，1）上的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=log_a

1-x

1+x

，∴

1-x

1+x

＞0?-1＜x＜1
m，n∈（-1，1），∴f（m）+f（n）=log_a

1-m

1+m

+log_a

1-n

1+n

=log_a（

1-m

1+m

?

1-n

1+n

）
=log_a

1-m-n+mn

1+m+n+mn

=log_a

1+mn-m-n

1+mn

1+mn+m+n

1+mn

=log_a

1-

m+n

1+mn

1+

m+n

1+mn

=f（

m+n

1+mn

）
（2）∵f（-x）+f（x）=log_a

1+x

1-x

+log_a

1-x

1+x

=log_a

1+x

1-x

?

1-x

1+x

=log_a1=0，
∴f（x）在其定义域（-1，1）上为奇函数．
（3）设0＜x₁＜x₂＜1，f（x₁）-f（x₂）=log_a

1-x1

1+x1

-log_a

1-x2

1+x2

=log_a

1-x1

1+x1

?

1+x2

1-x2

=log_a

1+x2-x1-x1x2

1+x1-x2-x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴1+x₂-x₁-x₁x₂＞1+x₁-x₂-x₁x₂＞0?

1+x2-x1-x1x2

1+x1-x2-x1x2

＞1
∴当0＜a＜1，f（x₁）-f（x₂）＜0，从而f（x）在（0，1）上为增函数；
当a＞1，f（x₁）-f（x₂）＞0，从而f（x）在（0，1）上为减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=loga1-x1+x，（a＞0且a≠1）．（1）若m，n∈（-..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：