定义在（0，+∞）上的函数f（x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m?n）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．（Ⅰ）计算f（1）；（Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）当f(2)=-12时，解不等-数学试题及答案

1、试题题目：定义在（0，+∞）上的函数f（x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m?n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

定义在（0，+∞）上的函数f （x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m?n）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．（Ⅰ）计算f（1）；（Ⅱ）证明f （x）在（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）当f(2)=-

1

2

时，解不等式f（x²-3x）＞-1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵定义在（0，+∞）上的函数f （x）对于任意的m，n∈（0，+∞），满足f（m?n）=f（m）+f（n），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0
证明：（II）设0＜x₁＜x₂，∵f（m?n）=f（m）+f（n）即f（m?n）-f（m）=f（n）
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

x1)-f(x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)-f(x1)=f(

x2

x1

)．
因为0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，而当x＞1时，f（x）＜0，从而f（x₂）＜f（x₁）
于是f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（Ⅲ）因为f（4）=f（2）+f（2）=-1，所以f（x²-3x）＞f（4），
因为f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以0＜x²-3x＜4，
解得-1＜x＜0或3＜x＜4，
故所求不等式的解集为{x|-1＜x＜0或3＜x＜4}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在（0，+∞）上的函数f（x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m?n..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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