设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈（0，1]时，f（x）=2tx-4x3（t为常数）（1）求f（x）的表达式；（2）当0＜t≤6时，用定义证明f（x）在[-6t6，6t6]上单调递增；（3）当t＞6时，是否存在t-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈（0，1]时，f（x）=2tx-4x3（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈（0，1]时，f（x）=2tx-4x³（t为常数）
（1）求f（x）的表达式；
（2）当0＜t≤6时，用定义证明f（x）在[-

6t

6

，

6t

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]上单调递增；
（3）当t＞6时，是否存在t使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上．若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，
∴f（-x）=-2tx+4x³，
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=2tx-4x³，
∴f（x）的表达式为：f（x）=

2tx-4x 3，x∈(0，1]

0．x=0

2tx-4x 3，x∈[-1，0)

．
（2）先设x₁、x₂∈[0，

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6

]，令x₁＜x₂，则有x₁-x₂＜0．
f（x₁）-f（x₂）=2tx₁-4x₁³-（2tx₂-4x₂³）
=2t（x₁-x₂）-4（x₁³-x₂³）=（x₁-x₂）[2t+4（x₁²+x₂x₁+x₂²）]
∵x₁、x₁∈[0，

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]，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在[0，

6t

6

]上单调递增．
（3）当t＞6时，

6t

6

＞1，由（2）得f（x）在[-1，1]上单调递增，
令f（1）=12，存在t=8，满足条件．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈（0，1]时，f（x）=2tx-4x3（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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