如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．（1）求A1C与DB所成角的大小；（2）求二面角D-A1B-C的余弦值；（3）若点E在A1B上，且EB=1，求EC与平面ABCD所成角的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．（1）求A1C与DB所成角的大小；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（1）求A₁C与DB所成角的大小；
（2）求二面角D-A₁B-C的余弦值；
（3）若点E在A₁B上，且EB=1，求EC与平面ABCD所成角的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）如图建立空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），D（1，0，0），B（0，1，0），A₁（1，1，1）．
∴

DB

=(-1，1，0)，

CA1

=(1，1，1)．
∴cos＜

DB

，

CA1

＞=

DB

?

CA1

|

DB

|?|

CA1

|

=

0

2

?

3

=0．
∴A₁C与DB所成角的大小为90°．
（2）设平面A₁BD的法向量

n1

=（x，y，z），
则

n1

⊥

DB

，

n1

⊥

A1B

，
可得

-x+y=0

x+z=0

，∴

n1

=（1，1，-1）．
同理可求得平面A₁BC的一个法向量

n2

=（1，0，-1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1

?

n2

|

n1

|?|

n2

|

=

2

6

=

6

3

，
∴二面角D-A₁B-C的余弦值为

6

3

．
（3）设

n

=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，且

CE

=(

2

，1，

2

)，
∴cos＜

n

，

CE

＞=

n

?

CE

|

n

|?|

CE

|

=

1

2

，
∴＜

n

，

CE

＞=60°，
∴EC与平面ABCD所成的角是30°．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．（1）求A1C与DB所成角的大小；..”的主要目的是检查您对于考点“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：