已知f（x）=lg2xax+b，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）-f（1x）=lgx．（1）求f（x）的解析式；（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是?，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=lg2xax+b，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）-f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

已知f（x）=lg

2x

ax+b

，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）-f（

1

x

）=lgx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是?，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵当x＞0时，恒有f（x）-f（

1

x

）=lgx，∴lg

2x

ax+b

-lg

2

bx+a

=lgx，∴（a-b）x²-（a-b）x=0．
∵x≠0，∴a-b=0，即 a=b．
再由f（1）=0 可得a+b=2，∴a=b=1，
∴f（x）=lg

2x

x+1

．
（2）由方程 lg

2x

x+1

=lg（m+x）可得

2x

x+1

=m+x

2x

x+1

＞0

，即

x2+(m-1)x+m=0

x＞0 ，或x＜-1

．
方程f（x）=lg（m+x）的解集是?，故有两种情况：①方程x²+（m-1）x+m=0无解，
∴△＜0，解得3-2

2

＜m＜3+2

2

．
②方程x²+（m-1）x+m=0有解，且两根都在[-1，0]内，令g（x）=x²+（m-1）x+m，

则有

△≥0

g(-1)≥0

g(0)≥0

-1≤

1-m

2

≤0

即

m≤3-2

2

或m≥3+2

2

1≤m≤3

，无解．
综合①、②，实数m的取值范围是（3-2

2

，3+2

2

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=lg2xax+b，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）-f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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