已知函数f(x)=log4(4x+1)．（1）求函数f（x）的值域；（2）判断函数F（x）=f（x）-4在定义域上的单调性，并用定义证明；（3）设h(x)=log4(a?2x-34a)，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=log4(4x+1)．（1）求函数f（x）的值域；（2）判断函数F（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=log4(4x+1)．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）判断函数F（x）=f（x）-4在定义域上的单调性，并用定义证明；
（3）设h(x)=log4(a?2x-

3

4

a)，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令t=4^x+1，
∵4^x＞0，
∴t＞1，
∴y=log₄t＞0，
所以函数f（x）的值域为（0，+∞）．…（2分）
（2）∵F（x）=f（x）-4的定义域为R，
∴对任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则F（x₁）-F（x₂）=log4(4x1+1)-4-[log4(4x2+1)-4]
=log4

1+4x1

1+4x2

，
∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴4x1＜4x2，
∴0＜4x1+1＜4x2+1，从而

4x1+1

4x2+1

＜1，
∴log4

1+4x1

1+4x2

＜0，故F（x₁）-F（x₂）＜0，
即F（x₁）＜F（x₂），
所以函数F（x）=f（x）-x在定义域上为增函数．…（4分）
（3）因为函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，
即方程log4(4x +1)=log4(a?2x-

3

4

a)有且只有一个实数根，
∴4^x+1=（a?2^x-

3

4

a）有且只有一个实数根，
∴（2^x）²+1=（a?2^x-

3

4

a），即（2^x）²-a?2^x+

3

4

a+1=0．
令t=2^x＞0，则关于t的方程t²-at+

3

4

a+1=0（*）有且只有一个正根． …（6分）
则方程（*）的两根异号或有两个相等的正根．
∴

△=0

a

2

＞0

或

3

4

a+1＜0，
∴a=4或a＜-

4

3

；
综上所述，实数a的取值范围是{a|a=4或a＜-

4

3

}．…（8分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=log4(4x+1)．（1）求函数f（x）的值域；（2）判断函数F（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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