设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点，点F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，点M、N是双曲线C的右支上不同两点，点Q为线段MN的-数学试题及答案

1、试题题目：设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，点A、B分别为双曲线C..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点，点F₁、F₂分别为双曲线C的左、右焦点，点M、N是双曲线C的右支上不同两点，点Q为线段MN的中点．已知在双曲线C上存在一点P，使得

PA

+

PB

+

PF2

=(

3

-3)

OP

．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率；
（Ⅱ）设a为正常数，若点Q在直线y=2x上，求直线MN在y轴上的截距的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设，点A（-a，0），B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c=

a2+b2

．（1分）
因为

PA

+

PB

+

PF2

=(

3

-3)

OP

，则

OA

+

OB

+

OF2

=

3

OP

．
设点P（x₀，y₀）

(c-a)2

3a2

-

b2

3b2

=1
，则(-a+c，b)=

3

(x0，y0)，所以x0=

1

3

(c-a)，y0=

b

3

．（3分）
因为点P在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，所以，即（c-a）²=4a²．（4分）
因为c＞a，所以c-a=2a，即c=3a，故离心率e=

c

a

=3．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=3a，则b²=c²-a²=8a²．（7分）
若MN⊥x轴，则Q在x轴上，不合题意．
设直线MN的方程为y=kx+m，代入

x2

a2

-

y2

8a2

=1，得8x²-（kx+m）²=8a²，即（8-k²）x²-2kmx-m²-8a²=0．（*）（9分）
若k²=8，则MN与双曲线C的渐近线平行，不合题意．
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），则x1+x2=

2km

8-k2

，x0=

x1+x2

2

=

km

8-k2

，y0=kx0+m=

8m

8-k2

．（10分）
若点Q在直线y=2x上，则

8m

8-k2

=

2km

8-k2

．
因为点M、N在双曲线的右支上，所以m≠0，从而k=4．（11分）
此时，方程（*）可化为8x²+8mx+m²+8a²=0．
由△=8²m²-4×8（m²+8a²）＞0，得m²＞8a²．（12分）
又M、N在双曲线C的右支上，则x₁+x₂=-m＞0，所以m＜-2

2

a．
故直线MN在y轴上的截距的取值范围是(-∞，-2

2

a)．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，点A、B分别为双曲线C..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：