（理）已知平面内动点P（x，y）到定点F(5，0)与定直线l：x=45的距离之比是常数52．（I）求动点P的轨迹C及其方程；（II）求过点Q（2，1）且与曲线C有且仅有一个公共点的直线方程．-数学试题及答案

1、试题题目：（理）已知平面内动点P（x，y）到定点F(5，0)与定直线l：x=45的距离之..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

（理）已知平面内动点P（x，y）到定点F(

5

，0)与定直线l：x=

4

5

的距离之比是常数

5

2

．
（ I）求动点P的轨迹C及其方程；
（ II）求过点Q（2，1）且与曲线C有且仅有一个公共点的直线方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的定义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（ I）∵

5

2

＞1，
∴轨迹C为以F为右焦点，l为右准线的双曲线．
设双曲线C方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，则

c=

5

a2

c

=

4

5

，
∴a²=4．
∴b²=c²-a²=5-4=1．
∴双曲线方程为

x2

4

-y2=1．
（Ⅱ）（1）若所求直线斜率不存在时，直线x=2满足题意．
（2）若所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y-1=k（x-2），
代入曲线方程

x2

4

-y2=1，得：

x2

4

-(kx-2k+1)2=1，
化简得：（1-4k²）x²+8k（2k-1）x-4（2k-1）²-4=0，
①当（1-4k²）=0时，即k=±

1

2

时，
∵（2，1）在渐近线y=

1

2

x上，∴k=

1

2

时不适合，舍去.k=-

1

2

时，直线平行于渐近线y=-

1

2

x，满足题意，
故所求直线方程为y=-

1

2

(x-2)+1，即y=-

1

2

x+2．
②当（1-4k²）≠0时，由△=64k²（2k-1）²-16（4k²-1）（4k²-4k+2）=0，
得k=

1

2

（舍去），综上所述，所求直线方程为x=2，y=-

1

2

x+2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理）已知平面内动点P（x，y）到定点F(5，0)与定直线l：x=45的距离之..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的定义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的定义”。

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