已知函数f（x）=x3+a?x2+bx+c的图象上的一点M（1，m）处的切线的方程为y=2，其中a，b，c∈R．（1）若a=-3，求f（x）的解析式，并表示成f（x）=（x+t）3+k，（t，k为常数）；（2）问函数y=f（x）是-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+a?x2+bx+c的图象上的一点M（1，m）处的切线的方程..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+a?x²+bx+c的图象上的一点M（1，m）处的切线的方程为y=2，其中a，b，c∈R．
（1）若a=-3，求f（x）的解析式，并表示成f（x）=（x+t）³+k，（t，k为常数）；
（2）问函数y=f（x）是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a表示），若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分12分）
（1）f′（x）=3x²+2a?x+b?f′（1）=3+2a+b=0
由∵m=2?f（1）=1+a+b+c=2∵a=-3?b=3，c=1，f（x）=x³-3x²+3x+1=（x-1）³+2…（4分）
（2）f′（x）=3x²+2a?x+b由（1）知b=-2a-3
所以 f′(x) =3x2+2a?x-(2a+3)=3(x+

2a+3

3

)?(x-1)…（6分）
令f′(x) =0?x=-

2a+3

3

，x=1…（8分）
当-

2a+3

3

=1?a=-3即f′（x）=3（x-1）²≥0
∵f（x）为R上为增函数，所以函数没有单调减区间； …（9分）
当-

2a+3

3

＞1?a＜-3时，可以判定f（x）单调减区间为(1，-

2a+3

3

)…（10分）
当-

2+3a

3

＜1?a＞-3时，可以判定f（x）单调减区间为(-

2a+3

3

，1)…（11分）
综上：a=-3，函数没有单调减区间；a＜-3，f（x）单调减区间为(1，-

2a+3

3

)；
a＞-3，f（x）单调减区间为(-

2a+3

3

，1)．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+a?x2+bx+c的图象上的一点M（1，m）处的切线的方程..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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