设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＞0），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．（1）用λ表示宣传画所用纸张面积S=f（λ）；（2）判断函数S=f（λ）-数学试题及答案

1、试题题目：设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm²，画面的宽与高的比为λ（λ＞0），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．
（1）用λ表示宣传画所用纸张面积S=f（λ）；
（2）判断函数S=f（λ）在（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）当λ取何值时，宣传画所用纸张面积S=f（λ）最小？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx²=4840．
所以纸张面积为S=f（λ）=（x+16）（λx+10）=λx²+（16λ+10）x+160，---------（2分）
将x=

22

10

λ

代入上式，得S=f（λ）=5000+44

10

（8

λ

+

5

λ

）．----------（4分）
（2）设0＜λ1＜λ2≤

5

8

则f(λ1)-f(λ2)=44

10

[8(

λ1

-

λ2

)+(

5

λ1

-

5

λ2

)]=
44

10

[8(

λ1

-

λ2

)+

5

λ1λ2

(

λ2

-

λ1

)]=44

10

(

λ1

-

λ2

)(8-

5

λ1λ2

)-----------（6分）
当0＜λ1＜λ2≤

5

8

时，

λ1λ2

＜

5

8

，∴

5

λ1λ2

＞8，
∴8-

5

λ1λ2

＜0，
∴f（λ₁）-f（λ₂）＞0，即f（λ₁）＞f（λ₂），
∴函数S=f（λ）在(0，

5

8

]上是减函数．
同理可证S=f（λ）在[

5

8

，+∞)上是增函数．-----------（8分）
（3）由（2）知，当λ∈(0，

5

8

]时，S=f（λ）是减函数，∴f(λ )≥f(

5

8

)
当λ∈[

5

8

，+∞)时，S=f（λ）是增函数，∴f(λ )≥f(

5

8

)；
∴当λ=

5

8

时，Smin=f(

5

8

)=6760cm2
答：λ=

5

8

时，使所用纸张面积最小为6760cm²-----------（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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