设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m?n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f(x)＞0，f(12)=-1．（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解关于x的不等式f(-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m?n）=f（m）+f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m?n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f(x)＞0，f(

1

2

)=-1．
（1）求f（2）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式f(x)≥2+f(

3

x-4

)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）对于任意正实数m，n；恒有f（mn）=f（m）+f（n）
令m=n=1，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，
又∵f(

1

2

)=-1
再令m=2，n=

1

2

，得f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)
∵f(

1

2

)=-1∴f(2)=1
（2）令0＜x₁＜x₂，则

x 2

x 1

＞1
∵当x＞0时，f(x)＞0∴f(

x 2

x 1

)＞0

∵f(mn)=f(m)+f(n)

∴f(x2)-f(x1)=f(x1?

x2

x1

)-f(x1)

=f(x1)+f(

x2

x1

)--f(x1)=f(

x2

x1

)＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（mn）=f（m）+f（n）f（2）=1
∴f（4）=2f（2）=2
2+f(

3

x-4

)=f(4)+f(

3

x-4

)=f(

12

x-4

)
∴原不等式可化为f(x)≥f(

12

x-4

)，又∵f（x）在区间（0，+∞）上是增函数
∴

x≥

12

x-4

x＞0

12

x-4

＞0

∴

-2≤x＜4或x≥6

x＞0

x＞4

∴x≥6

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m?n）=f（m）+f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：