已知三个函数y=sinx+1，y=x2-2x+2+t，y=12(x+1-tx)(x＞0)，它们各自的最小值恰好是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的三个零点（其中t是常数，且0＜t＜1）（1）求证：a2=2b+2（2）设f（x）=x3+ax2+b-数学试题及答案

1、试题题目：已知三个函数y=sinx+1，y=x2-2x+2+t，y=12(x+1-tx..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

已知三个函数y=sinx+1，y=

x2-2x+2+t

，y=

1

2

(x+

1-t

x

)(x＞0)，它们各自的最小值恰好是函数
f（x）=x³+ax²+bx+c的三个零点（其中t是常数，且0＜t＜1）
（1）求证：a²=2b+2
（2）设f（x）=x³+ax²+bx+c的两个极值点分别为（x₁，m），（x₂，n），若|x1-x2|=

6

3

，求f（x）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）三个函数的最小值依次为0，

1+t

，

1-t

由f（0）=0∴c=0
∴f（x）=x（x²+ax+b），故方程x²+ax+b=0的两根是

1+t

，

1-t

1+t

+

1-t

=-a

1+t

?

1-t

=b

，
由(

1+t

+

1-t

)2=(-a)2
∴a²=2b+26
（2）f′（x）=3x²+2ax+b，方程f′（x）=0的两个根为x₁，x₂
∴x1+x2=-

2

3

，x1x2=

b

3

且△＞0得4a²-4?3b＞0，b＜2
由|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(

-2a

3

)2-4

b

3

=

2

3

2-b

=

6

3

∴b=

1

2

，∴a²=2b+2=3
由

1+t

+

1-t

=-a＞0

&∴a＜0，

∴a=-

3

∴f(x)=x3-

3

x2+

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知三个函数y=sinx+1，y=x2-2x+2+t，y=12(x+1-tx..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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