发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-06-17 07:30:00
在四边形ABCD中,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=a,DC=b,BC=a+b,且a≤b,取AD的中点P,连接PB、PC。(1)试判断三角形PBC的形状;(2)在线段BC上,是否存在点M,使AM⊥MD,若存在,请求出BM的长;若不存在,请说明理由。
解:(1)在四边形ABCD中,AB⊥BC,DC⊥BC,∴AB∥DC.又AB=a,DC=b,且a≤b,∴四边形ABCD为直角梯形(或矩形),过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,∴PQ∥AB,又点P是AD的中点,∴点Q是BC的中点,又PQ=(AB+CD)=(a+b)=BC,∴PQ=BQ=QC,∴△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形,∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=90°,PB=PC,即△PBC是等腰直角三角形;(2)存在点M,使AM⊥MD,以AD为直径,P为圆心作圆P,当a=b时,四边形ABCD为矩形,PA=PD=PQ,圆P与BC相切于点Q,此时,M点与Q点重合,即存在点M,使得AM⊥MD,此时BM=(a+b);当a<b时,四边形ABCD为直角梯形,AD>BC,PA=PD>PQ,圆心P到BC的距离PQ小于圆P的半径,圆P与BC相交,BC上存在两点M1,M2,使AM⊥MD,过点A作AE⊥DC,在Rt△AED中,AE=a+b,DE=b-a,连接PM1,PM2,则,在直角三角形PQM1中,,∴BM1=BQ-M1Q=a,同理可得:BM2=BQ+M2Q=b,综上所述,在线段BC上存在点M,使AM⊥MD,当a=b时,有一点M,BM=;当a<b时,有两点M1,M2,BM1=a,BM2=b。
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“在四边形ABCD中,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=a,DC=b,BC=a+b,且a≤b,取A..”的主要目的是检查您对于考点“初中等腰三角形的性质,等腰三角形的判定”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“初中等腰三角形的性质,等腰三角形的判定”。