如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=，∠A=30o．（1）求劣弧的长；（2）若∠ABD=120o，BD=1，求证：CD是⊙O的切线．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=，∠A=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-22 07:30:00

试题原文

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=

，∠A=30^o．
（1）求劣弧

的长；
（2）若∠ABD=120^o，BD=1，求证：CD是⊙O的切线．

试题来源：福建省月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）解：延长OP交AC于E，
∵ P是△OAC的重心，OP=

，
∴ OE=1，
且 E是AC的中点. ∵ OA=OC，
∴ OE⊥AC. 在Rt△OAE中，
∵ ∠A=30°，OE=1，
∴ OA=2.
∴ ∠AOE=60°
∴ ∠AOC=120°
∴

.
（2）证明：连结BC. ∵ E、O分别是线段AC、AB的中点，
∴ BC∥OE，且BC=2OE=2=OB=OC.
∴ △OBC是等边三角形.
∴ ∠OBC=60°. ∵ ∠OBD=120°，
∴ ∠CBD=60°=∠AOE.
∵ BD=1=OE，BC=OA，
∴ △OAE ≌△BCD.
∴ ∠BCD=30°
∵ ∠OCB=60°，
∴ ∠OCD=90°
∴ CD是⊙O的切线.

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=，∠A=..”的主要目的是检查您对于考点“初中直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）”。

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