求所有的素数对（p，q），使得pq|5p+5q．-数学试题及答案

1、试题题目：求所有的素数对（p，q），使得pq|5p+5q．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-04-08 07:30:00

试题原文

求所有的素数对（p，q），使得pq|5^p+5^q．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：有理数定义及分类

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

若2|pq，不妨设p=2，则2q|5²+5^q，故q|5^q+25．
∵q|5^q-5，
∴q|30，即q=2，3，5．易验证素数对（2，2）不合要求，（2，3），（2，5）合乎要求．
若pq为奇数且5|pq，不妨设p=5，则5q|5⁵+5^q，故q|5^q-1+625．
当q=5时素数对（5，5）合乎要求，当q≠5时，由Fermat小定理有q|5^q-1-1，故q|626．由于q为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以q=313．经检验素数对（5，313）合乎要求．
若p，q都不等于2和5，则有pq|5^p-1+5^q-1，故5^p-1+5^q-1≡0（bmodp）．①
由Fermat小定理，得5^p-1≡1（bmodp），②
故由①，②得5^q-1≡-1（bmodp）．③
设p-1=2^k（2r-1），q-1=2^l（2s-1），其中k，l，r，s为正整数．
若k≤l，则由②，③易知1=12l-k(2s-1)≡(5p-1)2l-k(2s-1)=52l(2r-1)(2s-1)=(5q-1)2r-1≡(-1)2r-1≡-1 (bmodp)，
这与p≠2矛盾！所以k＞l．
同理有k＜l，两结论矛盾，即此时不存在合乎要求的（p，q）．
综上所述，所有满足题目要求的素数对（p，q）为：
（2，3），（3，2），（2，5），（5，2），（5，5），（5，313）及（313，5）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“求所有的素数对（p，q），使得pq|5p+5q．”的主要目的是检查您对于考点“初中有理数定义及分类”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中有理数定义及分类”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：