如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点。（1）求证：⊿MDC是等边三角形；（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC即MC′）同时与AD交于一点F时-数学试题及答案

1、试题题目：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-02-07 07:30:00

试题原文

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点。

（1）求证：⊿MDC是等边三角形；
（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成⊿AEF，试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值。

试题来源：四川省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：图形旋转

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）证明：过点D作DP⊥BC，于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，
∵∠C=∠B=60°，
∴CP=BQ=

AB，CP+BQ=AB，
又∵ADPQ是矩形，AD=PQ，故BC=2AD，
由已知，点M是BC的中点，BM=CM=AD=AB=CD，
即⊿MDC中，CM=CD，∠C=60°，故⊿MDC是等边三角形；
（2）⊿AEF的周长存在最小值，理由如下：
连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，⊿MAB，⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在⊿BME与⊿AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°，
∴⊿BME≌⊿AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，故⊿EMF是等边三角形，EF=MF，
∵MF的最小值为点M到AD的距离

，即EF的最小值是

，
⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，
⊿AEF的周长的最小值为2+

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点..”的主要目的是检查您对于考点“初中图形旋转”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中图形旋转”。

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