设椭圆M：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线y=2x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，2)，求△PAB-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆M：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2-y2=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

设椭圆M：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数，且内切于圆x²+y²=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=

2

x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，

2

)，求△PAB面积的最大值．

试题来源：河南模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）双曲线的离心率为

2

，则椭圆的离心率为e=

c

a

=

2

（2分）圆x²+y²=4的直径为4，则2a=4，
得：

2a=4

c

a

=

2

b2=a2-c2

?

a=2

c=

2

b=

2

所求椭圆M的方程为

y2

4

+

x2

2

=1．（6分）
（2）直线AB的直线方程：y=

2

x+m．
由

y=

2

x+m

x2

2

+

y2

4

=1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=(2

2

m)2-16(m2-4) ＞0，得-2

2

＜m＜2

2

∵x1+x2=-

2

m，x1x2=

m2-4

4

．
∴|AB|=

1+2

|x1-x2|=

3

?

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

?

1

2

m2-m2+4

=

3

4-

m2

2

（9分）
又P到AB的距离为d=

|m|

3

．
则S△ABC=

1

2

|AB|d=

1

2

3

4-

m2

2

|m|

3

=

1

2

m2(4-

m2

2

)

=

1

2

m2(8-m2)

≤

1

2

?

m2+(8-m2)

2

=

2

当且仅当m=±2∈(-2

2

，2

2

)取等号
∴(S△ABC)max=

2

．　　　　（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆M：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2-y2=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：