已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，且经过点D（1，32）．A，B分别是椭圆C的左右顶点，M为椭圆上一点，直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）求AP?-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，且经过点D（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且经过点D（1，

3

2

）．A，B分别是椭圆C的左右顶点，M为椭圆上一点，直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求

AP

?

BQ

的值
（3）求|PQ|的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，
∴

c

a

=

a2- b 2

a

=

1

2

，∴b²=

3

4

a² ①．
再由椭圆经过点D（1，

3

2

），可得

1

a2

+

9

4

b2

=1，即

1

a2

+

9

4b2

=1 ②．
由①②解得 a²=4，b²=3，故椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由题意可得 A（-2，0），B（2，0），∵M为椭圆上一点，可设M（2cosθ，

3

sinθ）．
∵直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q，椭圆右准线L方程为 x=4，故可设p（4，y₁），Q（4，y₂）．
由题意可得 A、M、P三点共线，可得 K_AM=K_AP，∴

3

sinθ-0

2cosθ+2

=

y1

4+2

，∴y₁=3

3

sinθ

cosθ+1

．
再由M、B、P 三点共线，可得 K_BM=K_BQ，∴

3

sinθ-0

2cosθ-2

=

y2

4-2

，∴y₂=

3

sinθ

cosθ-1

．
∴

AP

=（6，3

3

sinθ

cosθ+1

），

BQ

=（2，

3

sinθ

cosθ-1

）．
∴

AP

?

BQ

=（6，3

3

sinθ

cosθ+1

）?（2，

3

sinθ

cosθ-1

）=12+3

3

sinθ

cosθ+1

?

3

sinθ

cosθ-1

=12+9

sin2θ

cos2θ-1

=12-9=3，
即

AP

?

BQ

=3．
（3）由（2）|y_p|?|y_q|=9，∴|PQ|=|y_p-y_q|=|y_p|+|y_q|≥2

|yp|?|yq

|=6，当且仅当|y_p|=|y_q|时等号成立，
故|PQ|的最小值为6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，且经过点D（..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：