已知曲线C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R），O为坐标原点．（Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆且离心率e＞22，求m的取值范围；（Ⅱ）设m=4，直线l过点（0，1）且与曲线C交于不同的两点A、B，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R），O为坐标原点．（Ⅰ）若曲线C是焦..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知曲线C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R），O为坐标原点．
（Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆且离心率e＞

2

，求m的取值范围；
（Ⅱ）设m=4，直线l过点（0，1）且与曲线C交于不同的两点A、B，求当△ABO的面积取得最大值时直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）方程化为

x2

8

5-m

+

y2

8

m-2

=1，∵是焦点在x轴点上的椭圆，
∴m-2＞5-m＞0?

7

2

＜m＜5
∵e=

c

a

＞

2

?4c²＞2a²?a²＞2b²?m＞4，
∴m的取值范围是4＜m＜5．
（II）当m=4时，曲线C的方程为：

x2

8

+

y2

4

=1，
①当倾斜角为

π

2

时，三角形不存在；
②当斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，则原点O到直线的距离d=

1

1+k2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为直线与椭圆的两个交点，
联立直线和椭圆方程

y=kx+1

x2+2y2=8

消去y可得（2k²+1）x²+4kx-6=0，
则x1+x2=

-4k

1+k2

，x1x2=

-6

1+2k2

，|AB|=

(1+k2)[(

-4k

1+2k2

)2+

24

1+2k2

]

S=

1

2

d|AB|=

1

2

1

(1+k2

)

(1+k2)[(

-4k2

1+2k2

)2+

24

1+2k2

]

=

1

2

(

-4k

1+2k2

)2+

24

1+2k2

=

4k2

(1+2k2)2

+

6

1+2k2

=

16k2+6

(1+2k2)2

令t=

1

1+2k2

，t∈（0，1]；
S=

16k2+6

(1+2k2)2

=

16k2+8-2

(1+2k2)2

=

8

1+2k2

-

2

(1+2k2)2

=-2t²+8t=8-2（t-2）²，
在（0，1]单调递增，
∴当t=1时上式为最大值，最大值是6，此时k=0，直线方程为y=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R），O为坐标原点．（Ⅰ）若曲线C是焦..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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