数列{an}满足a1=12，Sn=n2an(n≥1)．（1）求S1，S2，S3并猜想Sn；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的正确性．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足a1=12，Sn=n2an(n≥1)．（1）求S1，S2，S3并猜想Sn；（2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a1=

1

2

，Sn=n2an(n≥1)．
（1）求S₁，S₂，S₃并猜想S_n；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的正确性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当n≥2 时，Sn-Sn-1=an=

1

n2

Sn，故Sn=

n2

n2-1

Sn-1．
又S1=a1=

1

2

，故可得 S2=

2

3

，S3=

3

4

，猜想：Sn=

n

n+1

(n∈N*)．
（2）①当n=1时，结论显然成立． ②假设当n=k（k∈N^*）时，结论成立，即Sk=

k

k+1

．
当n=k+1时，Sk+1=

(k+1)2

(k+1)2-1

Sk=

(k+1)2

(k+1)2-1

?

k

k+1

=

k+1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，
故结论当n=k+1时也成立．由①②知，结论对一切的n∈N^*成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足a1=12，Sn=n2an(n≥1)．（1）求S1，S2，S3并猜想Sn；（2）..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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