已知椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切．（Ⅰ）求曲线D的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切．
（Ⅰ）求曲线D的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为APM的重心．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（若三角形ABC的三点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则其重心G的坐标为（

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

））

试题来源：郑州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设P（x，y），由题知F（1，0），所以以PF为直径的圆的圆心E(

x+1

2

，y)，
则

|x+1|

2

=

1

2

|PF|=

1

2

(x-1)2+y2

，
整理得y²=4x，为所求．
（Ⅱ）不存在，理由如下：
若这样的三角形存在，由题可设P(

y12

4

，y1)(y1≠0)，M(x2，y2)，
由条件①知

x22

4

+

y22

3

=1，
由条件②得

OA

+

OP

+

OM

=

0

，又因为点A（-2，0），
所以

y12

4

+x2-2=0

y1+y2=0

即

y22

4

+x2-2=0，
故

3

4

-

3

16

x22+x2-2=0，
解之得x₂=2或x2=

10

3

（舍），
当x₂=2时，解得P（0，0）不合题意，
所以同时满足两个条件的三角形不存在．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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