设a＞0，方程xlnx+（a-x）ln（a-x）=0有解，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2]C．（1，2]D．（1，3]-数学试题及答案

1、试题题目：设a＞0，方程xlnx+（a-x）ln（a-x）=0有解，则a的取值范围是（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

设a＞0，方程xlnx+（a-x）ln（a-x）=0有解，则a的取值范围是（　　）

A．（0，1]

B．（0，2]

C．（1，2]

D．（1，3]

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意设f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），且0＜x＜a，
则原题可转化为f（x）=0在（0，a）有解，求a的范围，
∴f′（x）=1+lnx-1-ln（a-x）=lnx-ln（a-x）
则f″（x）=

1

x

-

1

x-a

=

-a

x(x-a)

，
由题意得0＜x＜a，又∵a＞0，∴f″（x）恒大于0，
∴f′（x）在（0，a）为增函数，
令f′（x）=0，得x=

a

2

，则0＜

a

2

＜a，
∴f′（x）在（0，

a

2

）恒小于零，在（

a

2

，a）恒大于零，
则f（x）在（0，

a

2

）递减，在（

a

2

，a）递增
要使f（x）在（0，a）有解，
则f（x）的最小值：f（

a

2

）=

a

2

ln

a

2

+（a-

a

2

）ln（a-

a

2

）=aln（

a

2

）≤0，
设g（x）=

x

2

lnx，x＞0，
且g′(x)=

1

2

lnx+

1

2

=0，得x=

1

e

，
∴g（x）在（0，

1

e

）递减，在（

1

e

，+∞）递增，
∵当x趋向于零时，g（x）=

x

2

lnx＜0，最小值g（

1

e

）＜0，
且g（1）=

1

2

ln1=0，此时a=2，
又由a＞0，解得a的范围为（0，2]，
故选B．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a＞0，方程xlnx+（a-x）ln（a-x）=0有解，则a的取值范围是（..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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