设函数f（x）=lnx，g(x)=px-px-2f(x)．（I）若g（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（II）求证：f（1+x）≤x（x＞-1）；（III）求证：1+12+13+…+1n＞ln(n+1)．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=lnx，g(x)=px-px-2f(x)．（I）若g（x）在其定义域内为单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=lnx，g(x)=px-

p

x

-2f(x)．
（I）若g（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；
（II）求证：f（1+x）≤x（x＞-1）；
（III）求证：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)．

试题来源：巢湖模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）函数f（x）=lnx的定义域为（0，+∞）
g(x)=px-

p

x

-2lnxg′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2+p-2x

x2

（1分）
则函数f（x）的定义域也为（0，+∞）
若g′(x)≥0?px2+p-2x≥0?p≥

2x

x2+1

=

2

x+

1

x

∵x+

1

x

≥2∴

2

x+

1

x

≤1
∴p≥1（4分）
（II）令h（x）=ln（1+x）-x
h′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

（5分）
令h'（x）=0?x=0

x	（-1，0）	（6分）（0，+∞）
h'（x）	+	-

∴x=0时，h（x）=h（0）=0
∴x＞-1时，h（x）≤0?ln（x+1）≤x（8分）
（III）由（II），令x=

1

n

，则

1

n

＞ln(1+

1

n

)=ln(n+1)-lnn（10分）
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln(n+1)-lnn=ln（n+1）（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=lnx，g(x)=px-px-2f(x)．（I）若g（x）在其定义域内为单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：