设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，椭圆C上一点P（1，32）到F1、F2两点的距离之和等于4．又直线l：y=12x+m与椭圆C有两个不同的交点A、B，O为坐标原点．（Ⅰ-数学试题及答案

1、试题题目：设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右两个焦..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

设F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，椭圆C上一点P（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4．又直线l：y=

1

2

x+m与椭圆C有两个不同的交点A、B，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l经过点F₁，求△ABF₂的面积；
（Ⅲ）求

OA

?

OB

的取值范围．

试题来源：通州区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设可知，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4，即a=2．（1分）
又点A（1，

3

2

）在椭圆上，∴

1

4

+

(

3

2

) 2

b2

=1，解得b²=3．（2分）
∴椭圆C的标准方程是

x2

4

+

y2

3

=1．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c²=a²-b²=1，即c=1，
∴F₁、F₂两点的坐标分别为（-1，0）、（1，0）．（4分）
∵直线l：y=

1

2

x+m经过点F₁（-1，0），
∴0=

1

2

×（-1）+m，∴m=

1

2

．（5分）
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由题意，有

x2

4

+

y2

3

=1

y=

1

2

x+

1

2

，消去x，整理得16y²-12y-9=0，
∴y₁+y₂=

3

4

，y₁y₂=-

9

16

．（6分）
设△ABF₂的面积为S_ABF2，则
S_ABF2=

1

2

|F₁F₂||y₂-y₁|=

1

2

×2

(y1+y2) 2-4y1y2

=

9

16

+

36

16

=

3

5

4

（Ⅲ）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则由题意，有

x2

4

+

y2

3

=1

y=

1

2

x+m

，消去y，整理得x²+mx+m²-3=0 ①
x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3．
∴y₁y₂=（

1

2

x₁+m）（

1

2

x₂+m）=

1

4

x₁x₂+

1

2

（x₁+x₂）m+m²=

1

4

（m²-3）+

1

2

（-m）m+m²=

3

4

m²-

3

4

．（10分）
∴

OA

?

OB

=x₁x₂+y₁y₂=m²-3+

3

4

m²-

3

4

=

7

4

m²-

15

4

，（11分）
又由①得，△=m²-4（m²-3）=-3m²+12，
∵A、B为不同的点，∴△＞0，∴0≤m²＜4．
∴-

15

4

≤

OA

?

OB

＜

13

4

．
∴

OA

?

OB

的取值范围是[-

15

4

，

13

4

）．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右两个焦..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：