已知复数z1=2sinθ-3i，z2=1+(2cosθ)i，θ∈[0，π]．（1）若z1?z2∈R，求角θ；（2）复数z1，z2对应的向量分别是a，b，存在θ使等式（λa+b）?（a+λb）=0成立，求实数λ的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知复数z1=2sinθ-3i，z2=1+(2cosθ)i，θ∈[0，π]．（1）若z1?z2∈R，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

已知复数z1=2sinθ-

3

i， z2=1+(2cosθ)i， θ∈[0，π]．
（1）若z₁?z₂∈R，求角θ；
（2）复数z₁，z₂对应的向量分别是

a

，

b

，存在θ使等式（λ

a

+

b

）?（

a

+λ

b

）=0成立，求实数λ的取值范围．

试题来源：浦东新区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵z₁?z₂=(2sinθ-

3

i)(1+2icosθ)=(2sinθ+2

3

cosθ)+(2sin2θ-

3

)i是实数，
∴2sin2θ-

3

=0，∴sin2θ=

3

2

，
∵0≤θ≤π，∴0≤2θ≤2π，∴2θ=

π

3

或

2π

3

，解得θ=

π

6

或

π

3

．
（2）∵

a

2+

b

2=(2sinθ)2+(-

3

)2+1+（2cosθ）²=8，

a

?

b

=(2sinθ，-

3

)?(1，2cosθ)=2sinθ-2

3

cosθ，
∴(λ

a

+

b

)?(

a

+λ

b

)=λ(

a

2+

b

2)+(1+λ2)

a

?

b

=8λ+(1+λ2)(2sinθ-2

3

cosθ)=0，
化为sin(θ-

π

3

)=-

2λ

1+λ2

，
∵θ∈[0，π]，∴(θ-

π

3

)∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴sin(θ-

π

3

)∈[-

3

2

，1]．
∴-

3

2

≤-

2λ

1+λ2

≤1，解得λ≥

3

或λ≤

3

．
实数λ的取值范围是(-∞，

3

)∪(

3

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知复数z1=2sinθ-3i，z2=1+(2cosθ)i，θ∈[0，π]．（1）若z1?z2∈R，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：