已知f（x）=2x3-5x，g（x）=x3+ax2+bx+c，x∈（0，+∞），设（1，f（1））是曲线y=f（x）与y=g（x）的一个公共点，且在此点处的切线相同．记g（x）的导函数为g‘（x），对任意x∈（0，+∞）恒有g‘（x）-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=2x3-5x，g（x）=x3+ax2+bx+c，x∈（0，+∞），设（1，f（1））是曲..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知f（x）=2x³-5x，g（x）=x³+ax²+bx+c，x∈（0，+∞），设（1，f（1））是曲线y=f（x）与y=g（x）的一个公共点，且在此点处的切线相同．记g（x）的导函数为g'（x），对任意x∈（0，+∞）恒有g'（x）＞0．
（1）求a，b，c之间的关系（请用b表示a、c）；
（2）求b的取值范围；
（3）证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥g（x）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=6x²-5，f（1）=-3，f'（1）=1，g'（x）=3x²+2ax+b，g（1）=1+a+b+c，g'（1）=3+2a+b．
由条件可得

a+b+c+4=0

2a+b+2=0

故a=-

b

2

-1，c=-3-

b

2

．
（2）∵当x∈（0，+∞）时，g'（x）=3x²+2ax+b＞0恒成立，
∴△=4a²-12b＜0，或

△≥0

-

2a

6

≤0

g′(0)=b≥0

得b∈(4-2

3

，4+2

3

)．
（3）令F（x）=f（x）-g（x），则F（1）=0，F'（x）=3x²-2ax-b-5=3x²+（b+2）x-b-5=（3x+b+5）（x-1）．
∵x∈(0，+∞)，b∈(4-2

3

，4+2

3

)，
∴3x+b+5＞0．
当x∈（0，1）时，F'（x）＜0，F（x）＞F（1）=0；
当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）＞F（1）=0．
综上，当x∈（0，+∞）时，F（x）≥0，即f（x）-g（x）≥0，即f（x）≥g（x）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=2x3-5x，g（x）=x3+ax2+bx+c，x∈（0，+∞），设（1，f（1））是曲..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：