已知函数f(x)=x33+x2+3ax+1，动直线l的斜率k=2．（1）若存在直线l与f（x）的图象相切，求a的取值范围；（2）若恰好有一条直线l与f（x）的图象相切，求直线l的方程；（3）若动直线l与f（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x33+x2+3ax+1，动直线l的斜率k=2．（1）若存在直线l与..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x3

3

+x2+3ax+1，动直线l的斜率k=2．
（1）若存在直线l与f（x）的图象相切，求a的取值范围；
（2）若恰好有一条直线l与f（x）的图象相切，求直线l的方程；
（3）若动直线l与f（x）的图象相切点A（x₁，y₁），且x₁∈[-2，2]，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意得f'（x）=x²+2x+3a．
（1）若存在直线l与f（x）的图象相切，设l的斜率为k，
则x²+2x+3a=2，3a=2-x²-2x≤3?a≤1，
∴a的取值范围（-∞，1]；
（2）若恰好有一条直线l与f（x）的图象相切，
设切点M（x，y），则x²+2x+3a=2有惟一解，?△=0?a=1，
且x=-1，切点M（-1，-

4

3

），
∴直线l的方程为：y+

4

3

=2（x+1），即：2x+y+

2

3

=0；
（3）若动直线l与f（x）的图象相切点A（x₁，y₁），
则x₁²+2x₁+3a=2且x₁∈[-2，2]，
3a=2-x₁²-2x₁∈[-6，3]，?a∈[-2，1]
故a的取值范围[-2，1]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x33+x2+3ax+1，动直线l的斜率k=2．（1）若存在直线l与..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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