已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（1）若xf‘（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（2）证明：（x﹣1）f（x）≥0-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（1）若xf‘（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．
（1）若xf'（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（2）证明：（x﹣1）f（x）≥0

试题来源：黑龙江省月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，
可得，
xf?（x）=xlnx+1，题设xf（x）≥x²+ax+1等价于lnx﹣x≤a，
令g（x）=lnx﹣x，则g（x）=．
当0＜x＜1时，g（x）＞0；
当x1时，g（x）＞0，x=1是g（x）的最大值点，
g（x）≤g（1）=﹣1．
综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）
（2）由（1）知，g（x）*g（1）=﹣1，
即lnx﹣x+1≤0；
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1
=xlnx+（lnx﹣x+1）
当x＞1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）
=lnx+x（lnx+﹣1）
所以（x﹣1）f（x）≥0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（1）若xf‘（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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