已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，点P（1，f（1））在函数y=f（x）的图象上，过P点的切线方程为y=3x+1．（1）若y=f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下是否存在实数m，使得-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，点P（1，f（1））在函数y=f（x）的图象上，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，点P（1，f（1））在函数y=f（x）的图象上，过P点的切线方程为y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下是否存在实数m，使得不等式f（x）≥m在区间[﹣2，1]上恒成立，若存在，试求出m的最大值，若不存在，试说明理由．

试题来源：期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x²+2ax+b
∵y=f（x）在x=﹣2时有极值，
∴x=﹣2是方程f′（x）=3x²+2ax+b=0的根，
∴14﹣4a+b=0①
又切线的斜率，即f′（x）在x=1时的值，
∴3+2a+b=3②
∵点P既在函数y=f（x）的图象上，又在切线y=3x+1上，
∴f（1）=4=1+a+b+c③，
由 ①②③解得a=2，b=﹣4，c=5，
故f（x）=x³+2x²﹣4x+5
（2）在（1）的条件下，f（x）=x³+2x²﹣4x+5
由f'（x）=3x²+4x﹣4=0得函数的两个极值点是

．
函数的两个极值为

函数在区间的两个端点值分别为f（﹣2）=13，f（1）=4．
比较极值与端点的函数值，知在区间[﹣2，1]上，函数f（x）的最小值为

．
不等式f（x）≥m在区间[﹣2，1]上恒成立，只需

，不等式f（x）≥m恒成立．
此时m的最大值为

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，点P（1，f（1））在函数y=f（x）的图象上，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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