已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值；（3）当n＞m≥4时，证明（mnn）m＞（nmm）n．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）若k∈Z，且

对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m≥4时，证明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

试题来源：期末题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）解：因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．
因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，
所以f'（e）=3，即a+lne+1=3．所以a=1．
（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx，所以

对任意x＞1恒成立，即

对任意x＞1恒成立．
令

，则

，
令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则

，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，
当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函数

在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
所以

．
所以k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4）．故整数k的最大值是3．
（3）证明：由（2）知，

是[4，+∞）上的增函数，
所以当n＞m≥4时，

．
即n（m﹣1）（1+lnn）＞m（n﹣1）（1+lnm）．
整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n﹣m）．
因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．
即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．
所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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