已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax，设F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）的单调区间；（Ⅱ）若以函数y=F（x）（0＜x≤3）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线斜率k≤12恒成立，求实数a的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax，设F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当a=1时，求函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

a

x

，设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以函数y=F（x）（0＜x≤3）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知a=1，可得F(x)=f(x)+g(x)=lnx+

1

x

，函数的定义域为（0，+∞），
则F′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

由F′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

＞0可得F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
F′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

＜0得F（x）在（0，1）上单调递减；
（Ⅱ）由题意可知k=F′(x0)=

x0-a

x

20

≤

1

2

对任意0＜x₀≤3恒成立，
即有x0-

1

2

x

20

≤a对任意0＜x₀≤3恒成立，即(x0-

1

2

x

20

)max≤a，
令t=x0-

1

2

x

20

=-

1

2

(

x

20

-2x0)=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

≤

1

2

，
则a≥

1

2

，即实数a的最小值为

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax，设F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当a=1时，求函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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