已知函数f（x）=lnx+1x-1（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-l，1），总存在xo∈[1，e]，使得不等式ma-（xo）＜0成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：ln2l+1n22+…+ln2n＞-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx+1x-1（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈R，对任..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx+

1

x

-1
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-l，1），总存在x_o∈[1，e]，使得不等式ma-（x_o）＜0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）证明：ln²l+1n²2+…+ln²n＞

(n-1)4

4n3

(n≥2，n∈N*)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，x＞0．
令f′（x）＞0，得x＞1，因此函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．
令f′（x）＜0，得0＜x＜1，因此函数f（x）的单调递减区间是（0，1）．…（4分）
（Ⅱ）依题意，ma＜f（x）_max．
由（Ⅰ）知，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴f（x）_max=f（e）=lne+

1

e

-1=

1

e

．
∴ma＜

1

e

，即ma-

1

e

＜0对于任意的a∈（-1，1）恒成立．
∴

m×1-

1

e

≤0

m×(-1)-

1

e

≤0

解得-

1

e

≤m≤

1

e

．
所以，m的取值范围是[-

1

e

，

1

e

]．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
故f（x）=lnx+

1

x

-1≥f（1）=0，
∴lnx≥1-

1

x

，以x²替代x，得lnx²≥1-

1

x2

．
∴ln²l+1n²2+…+ln²n＞1-

1

12

+1-

1

22

+…+1-

1

n2

即ln²l+1n²2+…+ln²n＞n-（

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

）．
又

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

∴-（

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

）＞-[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]
∴n-（

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

）＞n-[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]=n-[1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

]=

(n-1)2

n

，
∴ln1+ln2+…+lnn＞

(n-1)2

2n

．
由柯西不等式，
（ln²l+1n²2+…+ln²n）（1²+1²+…+1²）≥（ln1+ln2+…+lnn）²．
∴ln²l+1n²2+…+ln²n≥

1

n

（ln1+ln2+…+lnn）²＞

(n-1)4

4n3

(n≥2，n∈N*)．
∴ln²l+1n²2，+…+ln² n＞

(n-1)4

4n3

(n≥2，n∈N*)．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx+1x-1（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈R，对任..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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