已知函数f(x)=px-p-lnx(p＞0)是增函数．（I）求实数p的取值范围；（II）设数列{an}的通项公式为an=2n+1n，前n项和为S，求证：Sn≥2ln（n+1）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=px-p-lnx(p＞0)是增函数．（I）求实数p的取值范..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

px-p

-lnx(p＞0)是增函数．
（I）求实数p的取值范围；
（II）设数列{a_n}的通项公式为an=

2n+1

n

，前n项和为S，求证：S_n≥2ln（n+1）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题意，

px-p≥0

x＞0

p＞0

，∴x≥1，∴函数f（x）的定义域为[1，+∞），
由函数f（x）是增函数，可知f′(x)=

p

2

x-1

-

1

x

≥0对x＞1恒成立，…（3分）
令t=

x-1

，t＞0，则

p

≥(

2t

t2+1

)max，注意到t²+1≥2t＞0，所以(

2t

t2+1

)max=1，即

p

≥1，
所以p≥1为所求．…（6分）
（II）证明：由（I）知，f(x)=

x-1

-lnx是增函数，
所以f（x）≥f（1）=0，即

x-1

≥lnx，对x≥1恒成立．…（8分）
注意到an=

2n+1

n

=

(n+1)2

n2

-1

，所以an≥ln

(n+1)2

n2

．…（10分）
∴

Sn=a1+a2+…+an≥ln

22

12

+ln

32

22

+…+ln

(n+1)2

n2

=

ln[

22

12

?ln

32

22

?…?ln

(n+1)2

n2

=ln（n+1）²=2ln（n+1）
即S_n≥2ln（n+1）成立…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=px-p-lnx(p＞0)是增函数．（I）求实数p的取值范..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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