设函数f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．（注：(ln(x+1))′=1x+1）．（1）讨论f（x）的单调性．（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求f（x2）的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．（注：(ln(x+1))′=1x+1）．（1）讨论f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²+aln（x+1），a∈R．（注：(ln(x+1))′=

1

x+1

）．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求f（x₂）的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f′（x）=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

=

2(x+

1

2

)2+a-

1

2

x+1

，
①当a≥

1

2

时，f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）上单调递增；
②当a＜

1

2

时，f′（x）=0有两个解，x1=

-1-

1-2a

2

，x2=

-1+

1-2a

2

，且x₁＜x₂，
若x₁＞-1，即0＜a＜

1

2

时，-1＜x₁＜x₂，此时f（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；
若x₁≤-1，即a≤0时，x₁≤-1＜x₂，此时f（x）在（-1，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增；
（2）由（1）知：当0＜a＜

1

2

时f（x）有两个极值点，x1=

-1-

1-2a

2

，x2=

-1+

1-2a

2

，x₁＜x₂，
则f（x₂）=(

-1+

1-2a

2

)2+aln（

-1+

1-2a

2

+1），令t=

1-2a

，0＜t＜1，a=

1-t2

2

，x2=

t-1

2

，
f（x₂）=(

t-1

2

)2+

1-t2

2

ln

t+1

2

，令g（t）=(

t-1

2

)2+

1-t2

2

ln

t+1

2

（0＜t＜1），g′（t）=-tln

t+1

2

＞0，
所以g（t）在（0，1）上为增函数，所以g（0）＜g（t）＜g（1），即

1

4

+

1

2

ln

1

2

＜g（t）＜0，
故f（x₂）的取值范围为（

1

4

+

1

2

ln

1

2

，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．（注：(ln(x+1))′=1x+1）．（1）讨论f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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