已知函数f（x）=lnsinx+cosxsinx-cosx．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）猜测f（x）的周期并证明；（3）写出f（x）的单调递减区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnsinx+cosxsinx-cosx．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）猜..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln

sinx+cosx

sinx-cosx

．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）猜测f（x）的周期并证明；
（3）写出f（x）的单调递减区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：任意角的三角函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

sinx+cosx

sinx-cosx

=

tanx+1

tanx-1

＞0，可得 tanx＜-1 或tanx＞1，cosx=0．
∴x＞kπ+

π

4

，或x＜kπ-

π

4

，或 x=2kπ±

π

2

，k∈z，
故函数的定义域为（kπ+

π

4

，kπ+

π

2

）∪（ kπ-

π

2

，kπ-

π

4

），或x=2kπ±

π

2

，k∈z，故定义域关于原点对称．
∵f（ x）=ln

tanx+1

tanx-1

，∴f（-x）=ln

-tanx+1

-tanx-1

=ln

tanx -1

1+ tanx

=-ln

tanx+1

tanx-1

=-f（ x），
故函数f（ x）为奇函数．
（2）由于tanx的周期等于π，故f（x）的周期等于π，证明如下：
∵f（π+x）=ln

tan(π+x) +1

tan(π+x) -1

=ln

tanx+1

tanx-1

=f（ x），故函数f（ x）的周期等于π．
（3）f（x）的单调递减区间即函数t=

tanx+1

tanx-1

=1+

2

tanx-1

的减区间，即tanx＜-1 或tanx＞1 时的增区间，
故f（x）的单调递减区间为（kπ+

π

4

，kπ+

π

2

），（ kπ-

π

2

，kπ-

π

4

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnsinx+cosxsinx-cosx．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）猜..”的主要目的是检查您对于考点“高中任意角的三角函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中任意角的三角函数”。

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