发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-11-05 07:30:00
解:(Ⅰ)a1=0,a2=1+2a1=1,a3=2+2a1=2,a4=l+2a2=3,a5=3+2a2=5;a6=l+2a3=5,a7=4+2a3=8;(Ⅱ)由题设,对于任意的正整数n,都有:,∴,∴数列是以为首项,为公差的等差数列,∴; (Ⅲ)对于任意的正整数k,当n= 2k或n=1,3时,an<an+1;当n=4k+l时,an=an+1;当n=4k+3时,an>an+1。证明如下:首先,由al=0,a2=1,a3=2,a4=3可知n=1,3时,an<an+1;其次,对于任意的正整数k,n=2k时, an-an+1=a2k-a2k+1=(1+2ak)-(k+l+2ak)=-k<0;n=4k+l时, an-an+1=a4k+l-a4k+2=(2k+1+2a2k)-(1+2a2k+1)=2k+2a2k-2a2k+1=2k+2(1+2ak)-2(k+1+2ak)=0, 所以an=an+1;n=4k+3时, an-an+1=a4k+3-a4k+4=(2k+2+2a2k+1)-(1+2a2k+2)=2k+l+2a2k+l-2a2k+2=2k+1+2(k+1+2ak)-2(1+2ak+l)=4(k+ak-ak+l)+l, 事实上,我们可以证明:对于任意正整数k,k+ak≥ak+1(*)(证明见后),所以,此时an>an+1; 综上可知:结论得证。对于任意正整数k,k+ak≥ak+1(*)的证明如下: 1)当k=2m(m∈N*)时,k+ak-ak+1=2m+a2m-a2m+1=2m+(1+2am)-(m+l+2am)=m>0,满足(*)式; 2)当k=l时,1+a1=l=a2,满足(*)式; 3)当k=2m+l(m∈N*)时, k+ak-ak+1=2m+l+a2m+l-a2m+2=2m+l+(m+1+2am)-(1+2am+1)=3m+l+2am-2am+1=2(m+ am-am+1)+(m+1), 于是,只须证明m+am-am+1≥0,如此递推,可归结为1)或2)的 情形,于是(*)得证。
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知数列{a}满足a1=0,,n=2,3,4,…(Ⅰ)求a5,a6,a7的值;(Ⅱ)设..”的主要目的是检查您对于考点“高中一般数列的项”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中一般数列的项”。